• Adana Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.
• Amasya Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.  
• Aydın Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.  
• Denizli Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.  
• Edirne Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.  
• Erzurum Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.  
• Kahramanmaraş Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.  
• Kastamonu Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.  
• Malatya Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.  
• Muğla Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız.  
• Rize Ölçme Değerlendirme Merkezi Çalışma Soruları için tıklayınız

Pi Sayısı Ne İşe Yarar?

          Mangala, 17. yüzyılda dünyanın Türklerden öğrendiği, geçmişte Türklerin Köçürme adıyla oynadığı, dünyadaki yaygın adıyla Mankala/Mancala, 4 bin yıllık Türk zeka ve strateji oyunudur. Mangala kelimesi, Kaşgarlı Mahmut'un Divan-ı Lügat’it Türk'de sözünü ettiği Köçürme (göçürme/göç ettirme) kelimesinin Arapçasıdır. Metin And bu sözcüğün taşların sıralanışı düşünülerek Türkçede en küçük askeri birlik için kullanılan manga sözcüğünden veya taşların konulduğu çukurlar düşünülerek mangal sözcüğünden türetilmiş olabileceği yorumunda bulunmaktadır.

          16. yüzyıldan başlayarak Türk minyatürlerinde mangalaya ait tasvirler yer almıştır. Ülkemizi ziyaret eden yabancı seyyahlar Türklerin bu oyunu uzun süreler sıkılmadan sakinlik içinde oynadıklarını söylemişlerdir.

          Mangala'nın ortaya çıkışı ise ilginç bir hikayeyle tesadüfi olarak gerçekleşir. Serdar Asaf ve Serkan Aziz Ceyhan adlı iki kardeş 2007'de Türk Kahvesi ve kahve kültürü üzerine çalışmalar yapmaya başlar. Bir makalede geçen "Dünyanın ilk kafe'si Şems ve Hakem tarafından İstanbul'da açılmıştır" sözü üzerine ilk kafeyi ilk yerinde açabilmek için harekete geçerler. Ancak 16. yüzyıl Osmanlı minyatürleri üzerindeki bir detay onları bambaşka bir serüvene sürükler. Tüm dünyada kahve kültürünü anlatan sadece iki görsel kaynaktan biri olan, 1582 yılında Sultan Ahmet Meydanı'nda Şehzade Mehmed'in sünnet düğününü resmeden minyatürde bu oyunun oynandığını keşfederler. Mangala oyununun ilk delil fotoğrafı olan minyatür, şu an Topkapı Sarayı deposundadır.

          Bu geleneksel oyunla ekran kullanım süresinizi artırabilir veya daha kaliteli hale getirebilir, her yaştan insanla sosyalleşebilir, turnuvalarına katılabilirsiniz. Oyun, görme engellilere, ceza evlerinde ve huzur evlerinde kalan kişilere de ulaşmaya başladı ve Etnospor tarafından desteklenen etkinlikte 250 bin kişi kişinin oynadığı bu oyunu iki buçuk dakikada öğrenebilirsiniz ve buradan online oynayıp kendinizi geliştirebilirsiniz. Hatta yumurta kutusu ve fasulye taneleriyle kendi mangalanızı yapabilirsiniz :)


MANGALA NASIL OYNANIR?

• Türk zeka ve strateji oyunu mangala 2 kişi ile oynanır. 
• Oyun tahtasının üzerinde 12 tane küçük kuyu ve 2 tane de büyük kuyu (hazine) bulunur. 
• 48 adet taş vardır ve taşların renkleri önemli değildir.
• Her oyuncunun önünde bulunan 6 küçük kuyu, o oyuncunun bölgesidir. Karşısında bulunan 6 küçük kuyu rakibinin bölgesidir.
• Her oyuncu, sağ tarafındaki hazinede taşlarını toplar. Sol tarafındaki hazine rakibinindir.
• Oyunun amacı; hazinede en çok taşı biriktirmeyi başarmaktır.
• İki oyuncu da 24 taşı her bir kuyuya 4’er adet olmak üzere 6 küçük kuyuya dağıtıp oyuna kura ile başlarlar.

1. TEMEL KURAL: İlk hamleler ve herhangi bir kuyuda 1 taş varsa

• Başlama hakkı kazanan oyuncu kendi kuyularından birinden 4 taşın tamamını alır.
• Taşları aldığı kuyuya 1 taş bırakıp saat yönünün tersine yani sağa doğru her bir kuyuya birer  taş bırakarak elindeki taşlar bitene kadar dağıtır.
• Elindeki son taş hazinesine denk gelirse, oyuncu tekrar oynama hakkı kazanır. Denk gelmez yani kendi bölgesindeki 6 küçük kuyuya veya rakibin bölgesine geçerse sıra rakibe geçmiş olur.
• Oyuncunun herhangi bir kuyusunda 1 taş varsa, sırası geldiğinde bu taşı sağındaki kuyuya taşıyabilir.

2. TEMEL KURAL: Kendi bölgendeki boş bir kuyuya elindeki son taş denk gelirse

• Oyuncu taşları dağıtırken elinde kalan son taş, yine kendi bölgesinde yer alan boş bir kuyuya denk gelirse ve eğer boş kuyusunun karşısındaki kuyuda rakibine ait taş varsa, hem rakibinin kuyusundaki taşları hem de kendi boş kuyusuna bıraktığı taşı alıp hazinesine koyar ve hamle sırası rakibine geçer.

3. TEMEL KURAL: Rakip bölgesindeki kuyulara taş bırakma (Çift Kuralı)

• Hamle sırası gelen oyuncu kendi kuyusundan aldığı taşları dağıtırıken hazinesine de bıraktıktan sonra elinde taş kaldıysa, rakibinin bölgesindeki kuyulara da taş bırakmaya devam eder. Oyuncunun elindeki son taş, rakibinin bölgesinde denk geldiği kuyudaki taşların sayısını çift sayı yaparsa (1 ise 2, 3 ise 4, 5 ise 6, 7 ise 8 gibi) oyuncu bu kuyuda yer alan tüm taşların sahibi olur ve onları kendi hazinesine koyar ve hamle sırası rakibine geçer.

4. TEMEL KURAL: Kendi bölgendeki kuyuları önce bitirmeye bak

• Herhangi bir oyuncunun bölgesinde (kaybedenin de kazanın da bölgesi olabilir) yer alan taşlar bittiğinde oyun biter. Kendi bölgesindeki taşları ilk bitiren oyuncu, rakibinin bölgesinde bulunan tüm taşları da kazanır. Bu kural nedeniyle, son ana kadar oyunu kimin kazanacağı belli değildir ve oyunun dinamiği son ana kadar hiç düşmez. Kimin hazinesinde 24 ten fazla taş var o kazanmış olur ve 1 puan alır. 24 er tane ise beraberlik sayılır ve her iki oyuncu da 0.5 puan alır.
• Mangala Oyunu 5 set olarak oynanır.

          Limiti alınacak fonksiyonlar için  ,  , ,  ya da  olduğunu varsayalım.

          lim   lim  limitlerinin her ikisi de "0" veya her ikisi de ise (0/0 veya sonsuz/sonsuz belirsizliği) ve fonksiyonlar limitlerinin incelendiği noktada türevlenebiliyorsa,

          

          Limit alırken 0/0 veya ∞/∞  belirsizliğiyle karşılaşılan sorularda çarpanlara ayırma, sandviç teoremi veya grafiklerinden yararlanarak sonucu bulacağınız sorularda bu kural ile türev kullanılarak pratik bir şekilde limit değerine ulaşabilirsiniz. Bu ilaç gibi kuralın adı L'Hospital Kuralı'dır. Le Hospitıl diye değil LÖPİTAL şeklinde telafuz edilir. Hatta L'Hopital's Rule diye de karşınıza çıkabilir. Kural adını 1661-1704 yılları arasında yaşayan fransız matematikçisi Guillaume de l'Hôpital'in soyadından alır. L'Hospital Kuralı'ndan ilk kez 1692'da yazıp 1696'da yayımladığı "Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes" adlı kitabında bahsetmiştir. Ayrıca bu kitap diferansiyel analiz üzerine yazılmış ilk ders kitabıdır. l'Hopital, eserinin başında Leibniz ve Bernouilli kardeşlere (diğer kardeşler Jacob ve Daniel Bernoulli) teşekkür etmiştir. İşte asıl hikaye burda başlıyor:



          Bu çok önemli kuralın adı aslında Bernaulli Kuralı olmalıymış. l'Hopital'in ölümünden sonra Johann (Jean/John) Bernouilli, bu kuralın ve kitaptaki pek çok sonucun kendine ait olduğunu iddia etmiştir. Bernoulli'ye göre;
       
          1694 yılında l'Hôpital Bernoulli'ye her yıl 300 Frank (yaklaşık 1200 TL çok değil:) ödeyeceği ve Bernoulli'nin çalışmalarından ve keşiflerinden bilgi sahibi olacağı bir anlaşma yapmıştır. Daha sonra Bernoulli'den edindiği bilgileri kendi yazdığı kitaplarda kullanmıştır. Bernoulli'nin bu iddiası ise 1922 yılında doğrulanmıştır. Ayrıca l'Hopital kitabının ön sözünde borcunu kabul etmesine rağmen Bernoulli yaptığı katkılar için yeterince itibar göremediğinden şikâyet etmiştir:

Birçok kişiye borçlu olduğumun farkındayım. Bernoulli’nin kavrayışı, özellikle Groningue’de profesör olan genç John’a. Bay Leibniz’in keşiflerinin yanı sıra onların keşiflerini de gayri resmi bir şekilde kullandım. Bu sebepten ötürü kendimi onların istedikleri kadar hak iddia etmelerine razı ettim ve bana bırakmaya karar verecekleri şeyler için kendimi memnun edeceğim.

          Bernoulli'nin bu iddiası doğrulanmış olsa da bu önemli kuralın adı hala Guillaume de l'Hôpital'in adıyla yaşamakta...

          1910 yılında Selanik'te dünyaya gelen Cahit Arf, 1912 yılında henüz iki yaşındayken patlak veren Balkan Savaşı yüzünden, ailesi ile birlikte göç ederek İstanbul’a yerleşir, ordan da İzmir'e. Henüz 5. sınıfta iken genç bir öğretmeninin onun matematiğe ilgi duymasını sağlamasıyla matematikteki sonsuzluğu, sınırsızlığı keşfedip ölümsüzleşeceği serüvenine işte böyle başlıyor.

İlk önce İstanbul’a sonra İzmir’e taşındık. İzmir Sultanisi’nde beşinci sınıfta bir öğretmene rastladım. Aslında öğretmen değildi. Liseyi bitirmiş, İstanbul’a gidip dişçi olacak, bunun için paraya ihtiyacı var; parayı biriktirmek için öğretmenlik yapıyor. Bu genç benimle ilgilendi, çünkü gramerim çok iyiydi, lineer sistemlerle icra edilen problemleri de çözebiliyordum. Bana Euclid geometrisinin ilk teoremlerini ispat ettirdi. En sonuncusu da Pisagor teoremiydi. Bunu beceremedim ve kendisine söyledim. Bunun üzerine bana o anlattı. Bu adam sayesinde ben matematikle ilgilenmeye başladım O dönemler matematiğe pek hevesim yoktu. Güçlü tarafım gramerdi. Bir başka merakım da resim yapmak, Vatan-Millet-Sakarya yazıları okumak… O zaman İstiklal Harbi’ni yaşayan her genç çocuk böyleydi zannediyorum.

          Matematiksel yeteneğinin ailesi ve öğretmenleri tarafından fark edilmesiyle liseyi Paris’teki St.Louis Lisesi'nde okumak üzere ailesi tarafından Fransa’ya gönderilmiş ve 3 yıllık lise öğrenimini 2 yılda tamamlamıştır.

Liseye geçtiğim zaman ben matematik dersine hiçbir kitaptan çalışmazdım. Dersi dinlerdim, fakat not almazdım. Yine imtihanlarda hiç ders çalışmama lüzum yoktu, çünkü arkadaşlar hep gelip soru sorarlardı bana. Lisenin orta kısmını böylece arkadaşlarımın sorularına cevap vererek geçirdim ve ailem kabiliyetimi hocalardan duydu.

          Türkiye’ye döndüğünde hükümet tarafından Avrupa'ya gönderilecek öğrenciler arasına sınavla seçilen Cahit Arf, ayağının tozuyla Fransa’ya geri dönüp birçok bilim adamının yetiştiği okul olan École Normale Supérieure’e kaydolmuştur. 1932'de yükseköğrenimini tamamlayıp Türkiye'ye geri dönen Arf, bir süre Galatasaray Lisesi’nde matematik öğretmenliği yapmış ve 1933'te doçent adayı (profesör yardımcısı) olarak İstanbul Üniversitesi Matematik kürsüsüne geçmiştir.


           1937 yılında doktorasını yapmak üzere Almanya’da Göttingen Üniversitesi Matematik Bölümü’ne giren Cahit Arf, burada Alman matematikçi Helmut Hesse'nin doktora öğrencisi olur. Matematik dehalarının bile çok zor dediği “non-commutative Class Field” konusu üzerinde tek başına çalışmış ve bir buçuk yıl içinde 1938’de doktorasını tamamlamıştır. Bu çalışmadan elde ettiği sonuçların bir kısmını da hocası Helmut Hesse ile beraber çalışıp "Hesse-Arf Teoremi" (Hesse-Arf Teorem) olarak anılan teoremi matematik literatürüne kazandırmıştır. Bu çalışması 1939'da Almanya’nın ünlü matematik dergisi Crelle Journal'da yayınlanmış ve Cahit Arf’ı dünyaya tanıtmıştır. Cebir, sayılar teorisi, esneklik teorisi, analiz, geometri ve mühendislik matematiği gibi çok çeşitli alanlarda yaptığı çalışmalarla matematiğe temel katkılarda bulunan Arf, 20'den fazla özgün yayın vermiştir. Cebir konusundaki çalışmalarıyla dünyaca ün kazanan Cahit Arf, sentetik geometri problemlerinin cetvel ve pergel yardımıyla çözülebilirliği konusunda yaptığı çalışmalarla da tanınmış, cisimlerin kuadratik formlarının sınıflandırılmasında ortaya çıkan değişmezlere ilişkin "Arf Değişmezi" (Arf Invariant), "Arf Halkaları" (Arf Rings) ve "Arf Kapanışı" (Arf Closure) gibi literatürde kendi adıyla anılan çalışmalarıyla matematik dünyasının önde gelen bilim insanları arasında yer almıştır. Artık "ARF" adı “sin (sinüs)”, “cos (kosinüs)” gibi 3 harfli matematik simgelerinden biri haline gelmiştir.

          1938'in sonunda Türkiye'ye geri dönen Arf, İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'nde 1943'te profesör, 1955'te ordinaryüs profesörlüğe yükselmiştir. Ayrıca 1943'te İnönü Armağanı’nı almıştır. Prof. Dr. Erdal İnönü, Cahit Arf hakkında şöyle demişti;

Cahit Arf'ın önemli bir özelliği, her şeyin aslını anlamaya çalışmak olmuştur. Birisi bir konuşma yaparken, anlamadığı yeri hemen sorardı. Hiçbir şeyden çekinmezdi, onun için önemli olan anlamaktı; bilime değer veren bir insan olarak anlamak, araştırıcı zekasını kullanarak olayların nedenini anlamak...

          1962 yılına kadar üniversitede çalışmalarını sürdürecek olan Cahit Arf, o yıllarda bir yıllığına misafir profesör olarak Maryland Üniversitesi'ne gitmiş ve ayrıca Mainz Akademisi muhabir üyeliğine seçilmiştir. 1960 yılında Çekmece Nükleer Araştırma Merkezi'ni kurmak üzere görevlendirilen Arf, 1962'de İstanbul Üniversitesi'ndeki görevinden ayrılmış ve bir yıl kadar Robert Koleji'nde ders vermiştir.


           Daha sonra gittiği Amerika Birleşik Devletleri'nde araştırma ve incelemelerde bulunmuş; Kaliforniya Üniversitesi'nde konuk öğretim üyesi olarak görev yapmıştır. Türkiye'de yaşamak istemesi üzerine kendi isteğiyle 1967 yılında Türkiye'ye dönmüş ve kısa bir süre sonra Kanada ve Amerika'daki üniversitelerden konuk öğretim üyesi olarak teklifler almıştı. Ancak kendisi bu tekliflere cevap veremeden Ortadoğu Teknik Üniversitesi'ne atandığı ve uçak biletinin yolda olduğu bilgisinin verildiği bir telefon almıştı. Böylece 1967'de Ortadoğu Teknik Üniversitesi'nde öğretim üyesi olmuştu. ODTÜ'de bulunduğu zamanlarda yeni ve farklı bir üniversite modelinin ortaya çıkması için çaba gösteren Arf, 1980 yılında emekli oldu. ODTÜ Matematik Bölümü'nde her sene Arf adına ve anısına özel bir konferans düzenlenmeye devam etmektedir.

           Emekli olduktan sonra da TÜBİTAK'a bağlı Gebze Araştırma Merkezi'nde çalışmalarını sürdürdü. TÜBİTAK'ın kurulmasında ve gelişmesinde büyük emekleri olan Cahit Arf, 1963-1967 ve 1967-1971 yıllarında TÜBİTAK'ın Bilim Kurulu başkanlığını yapmıştır. Arf, matematiğe yapmış olduğu köklü katkılarından dolayı 1974'te TÜBİTAK Bilim Ödülü'ne layık görülmüştür.

           1980'de İTÜ ve Karadeniz Teknik Üniversitesi Onur Doktorası, 1981'de de ODTÜ Onur Doktorası'nı almıştır. İleri düzeyde araştırmalar yaptığı Halkalar ve Geometri üzerine ilk konferanslar 1984'te İstanbul'da yapılmıştır. 1985-1989 yılları arasında da Türk Matematik Derneği'nin başkanlığını yürütmüştür. 1990’te Cahit Arf'ın onuruna Sayılar Teorisi üzerine uluslararası bir sempozyum düzenlenmiştir. 1993’te Türkiye Bilimler Akademisi Şeref Üyeliği'ne seçilen Cahit Arf, 4 Şubat 1994’te de Fransa’da Commandeur des Palmes Académiques Ödülü'ne layık bulunmuştur.

           Her gün 10 Türk Lirası'nın üzerinde fotoğrafını gördüğünüz Cahit Arf'ı bir yazı ile açıklamanın mümkün olmadığını biliyoruz. Adını matematiğe vermiş böylesine kalıcı izler bırakan bu bilim insanını anlamak için düşüncelerini anlamak gerek. 26 Aralık 1997'de ağır bir kalp hastalığı nedeni ile vefat eden Ord. Prof. Dr. Cahit Arf'ı ölümünün 20. yıldönümünde şu sözlerini okuyarak saygıyla analım;

Yayılmasını istediğim bir şey var: Çocuklarımızı bellemekten (ezberlemekten) kurtarmak, anlamaya çalışmalarını sağlamak. Bazı gençlere böyle bir etki yaptığımı ümit ediyorum. Bizde okullarda durum hala böyle değil. Belletiyorlar. Şimdi önemli olan kolay ve çabuk kazanmak. Bizim memleketimizde insanlar bilgiyi satmak için kullanıyorlar; neşretme amacı da bu. Oysa bilim bu değil. Bilim algılarımızı tasnif edip, kavramlar haline getirip, bu kavramları neden-sonuç ilişkisiyle organize etmektir.

Sitemizde yayınlanan içeriklerin tüm hakları saklıdır. İzinsiz ve kaynak gösterilmeden kullanılamaz.

          En küçük lasa sayısı 13'tür. Peki lasa sayıları nasıl sayılardır?

          Lasa, hem kendi asal hem de rakamları tersten yazıldığında asal olan sayılar için kullanılan bir terimdir. Asal kelimesinin tersten yazılmasıyla elde edildiğini fark etmişsinizdir. Mesela İngilizce karşılığı emirp ;) Fakat lasa sayılar palindromik olamaz. Yani sayı tersten yazıldığında aynı asal sayı çıkmamalı.

11, 101, 131, 151, 313 ve 353 palindromik asal sayılardır ama lasa sayılar değildir.

Örnek Lasa Sayıları:

• 13 -- 31
• 17 -- 71
• 37 -- 73
• 79 -- 97
• 107 -- 701
• 113 -- 311
• 149 -- 941
• 157 -- 751